¿Qué es una función?

En el homeschool, cada concepto matemático puede conectarse con experiencias cotidianas. Las funciones, por ejemplo, son herramientas poderosas para entender cómo una cantidad depende de otra en situaciones reales: desde calcular la caída de una piedra hasta medir el área de un círculo.

En el aprendizaje desde casa, enseñar funciones es una gran oportunidad para personalizar el aprendizaje. ¿Qué tal usar ejemplos como ajustar recetas o analizar el tiempo que tarda un paquete en llegar según la distancia?

En este artículo, exploraremos el concepto de función, su importancia y cómo aplicarlo de forma práctica en casa. ¡Descubre cómo las matemáticas pueden ser útiles y divertidas!

Una de las ideas más valiosas para representar el mundo real es el concepto de función. Tomemos un ejemplo para ilustrarlo. Si un escalador deja caer una piedra desde un acantilado, sabemos que la piedra caerá. Sin embargo, esta afirmación general no nos indica el momento exacto en que la piedra tocará el suelo. Para determinarlo, necesitamos una fórmula que relacione la distancia d que recorre la piedra con el tiempo t que ha estado cayendo. Galileo fue pionero en establecer esta relación: en t segundos, la piedra cae 4.9t² metros. Esta relación se conoce como función y se expresa como d(t) = 4.9t². Gracias a este modelo funcional, podemos prever cuándo la piedra llegará al suelo.

En casi todos los fenómenos físicos observamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura de una persona depende de su edad, el costo de enviar un paquete por correo depende de su peso, etc. Usamos el término función para describir esta dependencia de una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo, La regla que describe la forma en que el área A de un círculo depende de su radio r está dada por A=π r^2

Para hablar de una función, es necesario darle un nombre. Generalmente se usan la letras f, g y h para representar funciones.

Veamos el siguiente ejemplo: f(x)=2x+3

En este caso, la función “f” es la regla de “multiplicar por dos el número que entre a esta función y luego sumarle 3”.

Cuando escribimos f(2) queremos decir “aplicar la regla f al número 2”. Por lo que el resultado sería multiplicar 2 por 2, que es 4 y luego sumarle 3, resultando 7. Podemos decir que f(2)=2∙2+3=7.

En el caso del área, si el círculo tiene radio igual a 3, su área sería elevar 3 al cuadrado y luego multiplicar ese resultado por el número pi, es decir, A=π 3^2=9π.

La idea fundamental es que las funciones son herramientas matemáticas que describen cómo una cantidad depende de otra, permitiendo modelar y predecir fenómenos en el mundo real, como la caída de un objeto o el área de un círculo.

Una definición un poco más formal es la siguiente:

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio, exactamente un elemento de un conjunto B, llamado codominio, rango o recorrido. Donde A y B son generalmente conjuntos de los números reales.

Se puede representar de la siguiente manera:

Aquí la función f toma un elemento del conjunto A y lo lleva a un único elemento del conjunto B, aplicándole la regla que define a esa función. Por ejemplo, si la función es f(x)=2x+3 y en el conjunto A está el número 5, aplicarle dicha función nos llevará al número 13 que se encontrará en el conjunto B.

Además, los elementos o números que se encuentran en el dominio se llaman preimágenes, mientras que los elementos que se encuentran en el recorrido se denominan imágenes.

Se suele escribir y=f(x) para asociar al número al que se le aplica la función, es decir a ”x”, a la variable independiente, mientras que al resultado de esa aplicación, es decir a “y”, a la variable dependiente, pues depende de la “x” que se haya escogido. Por ejemplo, para la función que relaciona el área de un círculo, el radio sería la variable independiente y el área la dependiente, pues depende del tamaño del radio si un área es más grande o más pequeña.

Una forma más sencilla es representar una función como una máquina:

Aquí, pertenece al conjunto de entrada o dominio, entonces cuando entra a la máquina, la máquina produce una salida f(x) o resultado de acuerdo con la regla de la función.

Veamos un ejemplo:

Si tenemos la función f(x)=x^2-2 y consideramos x=3

Aquí, la máquina representa todo lo que hace internamente la función, en este caso, elevar a 2 el número que entra y luego restar 2 al resultado.

Las funciones pueden representarse de varias maneras, incluyendo:

1. Ecuaciones: Por ejemplo,f(x)=2x+3,f(x)=πr^2.
2. Tablas: Que muestran pares de valores relacionados.
3. Gráficos: Que visualizan la relación entre las variables.

Por ejemplo, para la función podemos generar la siguiente tabla y su representación gráfica:

La primera columna de la tabla muestra solo algunos valores que puede tomar “x“ y la segunda columna muestra los resultados de aplicarle dicha función a esos números.

Para graficar estos números, ubicamos en el plano cartesiano los pares ordenador y luego los unimos por una recta como se ve en la siguiente imagen:

Conclusión:

Las funciones son una herramienta poderosa para modelar relaciones en el mundo real. Al entender cómo funcionan, podemos resolver problemas matemáticos y científicos de manera más eficiente y comprender mejor los fenómenos que nos rodean. Desde calcular áreas hasta predecir comportamientos físicos, las funciones están en todas partes. ¡Empieza a explorar sus aplicaciones en tu día a día!